Задачи с улицы (из журнала "Математика")

Здесь публикуются статьи цикла "Задачи с улицы" из методического журнала "Математика" и электронные приложения к ним. Большинство приложений в виде Excel-таблицы с расширением .xls или .xlsx. 

Цель цикла – снабдить учителя темами для учебно-исследовательских проектов, одновременно доставляя ему профессиональное развлечение на досуге.

18. Задача экзаменатора. Это не задача в обычном смысле слова, а небольшая инструкция, как с помощью Excel получить случайную перестановку натуральных чисел или чего-то еще. Например, как совершенно случайно раздать студентам на дистанционном зачете или экзамене билеты без повторения. 

17. Задача кассира метро. Чтобы быстрее выдавать сдачу, кассиры в метро заранее складывают столбики из монет. У кассира на столе два таких одинаковых столбика. Какова вероятность того, что в обоих столбиках поровну монет окажутся орлом вверх? Задача приводит к красивой структуре, но сама по себе жизненной не очень является. Особенно красивым решение оказывается, если использовать подходящую асимптотику в виде формулы Стирлинга или Уоллиса. В дополнении содержится вывод обеих формул.  Расчетная таблица в Excel. 

16. Задача о дискотеке и шляпах. Входя в магазин или в торговую точку на рынке с непривлекательным товаром, невольно задаешь себе вопрос: неужели это кто-то когда-то купит? Несложная математическая модель показывает, что даже при непривлекательном товаре все равно почти все будет распродано в небольшой период времени, причем нераспроданный остаток... не зависит от начального количества товара. Расчетная таблица в Excel.

15. Задача о разборчивой невесте. Знаменитая задача секретаря (М.Гарднер, 1960) часто предлагается в сюжете про капризную невесту или вынужденного жениха. Задачу трудно считать очень жизненной, но нечто похожее возникает тогда, когда нужно принять оптимальное решение в условиях ограниченного времени и невозможности изменить выбор. Расчетная таблица к задаче.

14. Задача о чемоданах. Папа, мама и дочь прилетели на курорт и ждут три свои чемодана на ленте транспортера в аэропорту. Сколько в среднем ждать первого чемодана? Задача имеет несколько решений от полуинтуитивного до строгого и совершенного в своей элегантности. Расчетная таблица к задаче.

13. Задача о жребии «на туза». Четверо бросают жребий: один раздает карты из обычной колоды себе и друзьям по кругу до тех пор, пока кому-то не достанется туз. Честный ли это жребий? Чьи шансы выше? Насколько они выше, чем шансы всех прочих? Расчетная таблица к задаче.

12. Задача о строгой учительнице. Учительница посетила открытый урок по теме «Геометрическое распределение». Он ей очень понравился, и она решила провести такой же в своем классе. Но не просто повторить, а улучшить с целью укрепления дисциплины и улучшения организации урока. Рассказ о том, что из этого вышло. Расчетная таблица к задаче.

11. Задача о циклах. В задаче 6 завуч развешивает перепутанные ключи по местам. Он берет какой-то ключ с крючка № 1, вешает его на соответствующий крючок, снимая ключ, который там висел, и перевешивая его, куда надо и так далее, пока у него не окажется в руках ключ №1, который он и повесит на пустующий крючок №1. Круг (цикл) замкнулся. Сколько в среднем циклов в случайной перестановке? Расчетная Excel-таблица к задаче (xlsx)

10. Задача о саженцах и овербукинге. Сколько нужно купить саженцев, чтобы из них с достаточно большой вероятностью прижилось нужное число штук? Или – сколько продать билетов в самолет, чтобы с большой вероятностью почти не было свободных мест и с большой вероятностью не пришлось отказывать пассажирам, поздно пришедшим на регистрацию? Расчетная Excel-таблица к задаче (xlsx)

9. Задача стюардессы. Стюардесса предлагает пассажирам курицу с картошкой и рыбу с рисом. В какой-то момент одно из блюд заканчивается и начинаются недовольные пассажиры. Наиболее вероятное и среднее число недовольных? Какой нужен запас, чтобы недовольных не было с достаточно большой вероятностью? 
Расчетная Excel-таблица к задаче (.xlsx)

8. Задача о театралах. В театре ряд кресел упирается в стенку ложи, поэтому проход к креслам этого ряда только с одной стороны – из центрального прохода. Зрители приходят в случайном порядке. Чтобы пропустить того, кому нужно дальше, тот, кто уже сидит ближе, должен встать. При этом раздается громкий стук: подпружиненное сиденье с силой хлопает о спинку кресла. Сколько будет хлопков? Сколько окажется зрителей, которым ни разу не придется вставать? 
Расчетная Excel-таблица к задаче (.xlsx).

7. Задача об узком шоссе. По длинному и узкому шоссе двигаются друг за другом автомобили – много автомобилей. Поскольку обгонять нет возможности, машины сбиваются в группы. Сколько таких групп окажется? 
Расчетная Excel-таблица к задаче (.xlsx).

6. Задача о совпадениях. В учительской рассыпались ключи, и завуч в спешке развесил их в произвольном порядке, чтоб не валялись на полу. Сколько ключей в среднем окажется на своих крючках? Верхняя оценка, нижняя? Какова вероятность того, что ровно k ключей окажутся на своем месте, и как это все это связано с распределением Пуассона?
Расчетная Excel-таблица к задаче (.xlsx).

5. Задача Билли Бонса. Обратна задаче коллекционера: какова вероятность того, что в купленных киндер-сюрпризах окажется ровно k различных принцесс? Более простая постановка задачи – какова вероятность того, что на пяти брошенных костях выпадет ровно три (например) различных числа?
Расчетная Excel-таблица к задаче (.xlsx). 

4. Задача коллекционера (Математика №9, 2022).  Сколько нужно купить киндер-сюрпризов, чтобы собрать всю коллекцию из 10 бегемотов или 8 принцесс? Оценка затрат на коллекционирование приводит к рассказу о последовательности гармонических чисел и ее аппроксимации с помощью натурального логарифма.  
Расчетная Excel-таблица к задаче (.xlsx).
Страница с программой, моделирующей коллекционирование (javascript)

3. Задача о такси в Майкопе (Математика №8, 2022). Майкоп – небольшой компактный город, поэтому можно считать, что на протяжении двух-трех дней совокупность работающих Яндекс-такси остается практически неизменной, и что такси случайно перемешаны. Командировочный регулярно пользуется Яндекс-такси. В какой-то момент машина повторилась. Сколько всего Яндекс-такси в городе? 
Расчетная Excel-таблица к задаче (.xlsx).

2. Задача о варенье. (Математика №7, 2022). Мария Петровна варит вишневое варенье в огромном тазу и разливает его по литровым банкам. Остатки сливаются тоже в литровую банку. Сколько будет сварено тазов, прежде чем наполнится банка с остатками? 
Расчетная Excel-таблица к задаче (.xlsx).

1. Задача о настольной игре. (Математика № 6, 2022). Игры, где игроки бросают кубик и передвигают фишки по пронумерованным полям на раскрашенной картонке, известны всем с детства. На некоторых полях игроков ждут приключения (пропусти ход, получи приз, откатись назад). На каких полях лучше устраивать такие засады, чтобы игра была поинтереснее? Другой вопрос – как долго продлится игра?
Расчетная Excel-таблица к задаче (.xls).